Metode yang lebih efisien untuk rotasi pilihan nilai axis yang berubah-ubah adalah dengan menggunakan representasi quarternion untuk transformasi rotasi. Quarternions berguna didalam beberapa prosedur komputer grafik, termasuk turunan dari objek fractal. Metode ini membutuhkan ruang penyimpanan kurang dari matriks 4x4 dan tidak sulit menuliskan prosedur quarternion untuk urutan transformasi. Hal ini penting untuk digunakan dalam animasi, yang sering membutuhkan rangkaian gerakan yang sulit dan interpolasi gerakan antara dua posisi objek.
Satu cara untuk mengkarakteristik quarternion adalah pasangan urutan yang terdiri dari bagian skalar dan bagian vektor:
q=(s, v) ................(1)
Rotasi dari nilai axis yang tepat melewati koordinat titik pusat (koordinat asli) diselesaikan oleh pengaturan pertama dari unit quarternion dengan bagian skalar dan vektor:
s = cos(θ/2) v = u sin (θ/2) ............... (2)
dimana u adalah unit vektor sepanjang sumbu rotasi yang dipilih dan θ adalah angle dari roatsi terhadap sumbu tersebut. Posisi titik P yang akan dirotasikan oleh quarternion dapat direpresentasikan dalam notasi quarternion yaitu
P = (0, p) .........................(3)
dengan dengan p = (x, y, z). Titik rotasi selanjutnya diperoleh dengan operasi quareternion
P' = qPq-1 ................................(4)
dimana q-1 = (s, -v) adalah inverse dari unit quarternion q dengan bagian skalar dan vektor dari persamaan (2). Transformasi ini menghasilkan langkah baru
P' (0, p') ..............................(5)
istilah kedua didalam pasangan perintah adalah titik yang telah dirotasikan p', yang dievaluasi dengan dot vektor dan cross product seperti
p' = s2p + v(p.v) + 2s(v x p) + v x (v x p) .................. (6)
nilai parameter untuk s dan v, dihasilkan dari ekspresi (2). Banyak sistem komputer grafik menggunakan implementasi hardware yang efisien dari kalkulasi vektor ini untuk melakukan rotasi rapid objek tiga dimensi.
Transformasi (4) ekuivalen untuk rotasi dengan sumbu yang tepat memotong titik pusat (koordinat asli). Hal ini sama seperti rangkaian dari transformasi rotasi
R(θ) = T-1 . Rx-1(α).Ry-1(β). Rz(θ). Ry(β).Rx(α).T
yang meluruskan sumbu rotasi dengan sumbu z, rotasi terhadap sumbu z, lalu mengembalikan sumbu rotasi menjadi sumbu awal (origin) di koordinat origin.
Kita dapat mengevaluasi ekspresi (6) menggunakan definisi quarternion multiplication. Menunjuk komponen bagian vektor dari q sebagi v = (a, b, c), kita mendapatkan element untuk matriks rotasi komposit R(θ) = T-1 . Rx-1(α).Ry-1(β). Rz(θ). Ry(β).Rx(α).T, dalam bentuk matrik 3 x 3 seperti
MR(θ) =
ux2(1-cosθ) + cosθ uxuy(1-cosθ)-uzsinθ uxuz(1-cosθ) + uysinθ
uyux(1-cosθ)-uzsinθ uy2(1-cosθ) + cosθ uyuz(1-cosθ) + uxsinθ
uzux(1-cosθ)-u\ysinθ uzuy(1-cosθ) + uxsinθ uz2(1-cosθ) + cosθ ……………(7)
dimana ux, uy, dan uz adalah komponen dari sumbu unit vektor u.
Untuk melengkapi rangkaian transformasi untuk rotasi ini, kita perlu untuk memasukkan translasi yang memindahkan sumbu rotasi ke sumbu koordinat dan mengembalikannya ke posisi asli. Dengan demikian, ekspresi rotasi quarternion yang lengkap adalah
R(θ) = T-1 . MR . T …………………….(10)
Sunday, October 19, 2008
Bisakah aku membalas kebaikanmu?
Assalamualaikum....
Wah sudah lama sekali aku tak mengisi blog ini. Baru sempet. Maaf ya.
Pernah gak sih kita berpikir klo kita bisa ngebalas jasa orang tua kita?
Sabtu 19 Oktober 2008, dimana hari itu aku baru teringat akan hal tersebut. Ternyata banyak banget yang telah orang tua aku berikan. Dari mulai uang kuliah, uang jajan, laptop, kamar sendiri, kasih sayang, cinta, dll.
Sebelumnya tak pernah terpikir akan pengorbanan itu.
Bagaimana aku bisa membalasnya?
Kasih sayang yang telah mereka berika terlalu besar. Sayangku kepada mereka tak sebesar sayang mereka kepadaku.
Pengorbanan yang mereka jauh lebih besar. Pengorbananku ke mereka masih sangat kecil dibandingkan pengorbanan yang mereka lakukan kepdaku.
Cintanya yang begitu tulus, tak setulus cintaku kepada mereka.
Uang yang sudah mereka keluarkan sangat besar demi keberlangsungan hidupku.
Aku ingin membalas kasih sayang, pengorbanan, cinta, uang dan apapun itu yang telah mereka berikan kepadaku??
Kapankah itu???
Aku harus berusaha!!!!
Aku akan berusaha!!!!
Tapi... Aku yakin jika suatu saat aku bisa membalas kebaikan mereka, aku yakin dan sangat yaki, bahwa balas budiku tak sebanding dengan apa yang telah mereka berikan....
Wah sudah lama sekali aku tak mengisi blog ini. Baru sempet. Maaf ya.
Pernah gak sih kita berpikir klo kita bisa ngebalas jasa orang tua kita?
Sabtu 19 Oktober 2008, dimana hari itu aku baru teringat akan hal tersebut. Ternyata banyak banget yang telah orang tua aku berikan. Dari mulai uang kuliah, uang jajan, laptop, kamar sendiri, kasih sayang, cinta, dll.
Sebelumnya tak pernah terpikir akan pengorbanan itu.
Bagaimana aku bisa membalasnya?
Kasih sayang yang telah mereka berika terlalu besar. Sayangku kepada mereka tak sebesar sayang mereka kepadaku.
Pengorbanan yang mereka jauh lebih besar. Pengorbananku ke mereka masih sangat kecil dibandingkan pengorbanan yang mereka lakukan kepdaku.
Cintanya yang begitu tulus, tak setulus cintaku kepada mereka.
Uang yang sudah mereka keluarkan sangat besar demi keberlangsungan hidupku.
Aku ingin membalas kasih sayang, pengorbanan, cinta, uang dan apapun itu yang telah mereka berikan kepadaku??
Kapankah itu???
Aku harus berusaha!!!!
Aku akan berusaha!!!!
Tapi... Aku yakin jika suatu saat aku bisa membalas kebaikan mereka, aku yakin dan sangat yaki, bahwa balas budiku tak sebanding dengan apa yang telah mereka berikan....
Subscribe to:
Posts (Atom)